Трапеция Формулы, признаки и свойства

Содержание

1. Определение трапеции
2. Элементы трапеции
3. Виды трапеций
4. Основные свойства трапеции
5. Стороны трапеции
6. Средняя линия трапеции
7. Высота трапеции
8. Диагонали трапеции
9. Площадь трапеции
10. Периметр трапеции
11. Окружность описанная вокруг трапеции
12. Окружность вписанная в трапецию

Определение трапеции

Элементы трапеции

Все трапеции обладают следующими элементами:

1. Основания трапеции - две параллельные противоположные стороны. В нашем случае это стороны b и d.
2. Боковые стороны - две непараллельные противоположные стороны. В нашем случае - a и c.
3. Средняя линия - отрезок, соединяющий середины боковых сторон. На рисунке обозначен как m.
4. Угол при основании - угол, образованный основанием с боковой стороной.

Виды трапеций

Трапеции подразделяются на следующие виды:

1. Равнобедреннная - трапеция, в которой боковые стороны равны. 

$a=c$

• Отрезок, соединяющий середины оснований, перпендикулярен им.
• Углы при любом основании равны
• Сумма противоположных углов равна 180 градусам
• Длины диагоналей равны
• Высота делит большее основание на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой полуразности
• Вокруг этой трапеции можно описать окружность
• Средняя линия равна высоте

2. Прямоугольная  - трапеция, в которой угол при основании прямой, то есть равен 90 градусов.

$\angle A=90$

3. Произвольная - трапеция, не являющаяся равнобедренной или прямоугольной.

Основные свойства трапеции

Трапеция обладает следующими основными свойствами:

1. Сумма углов, прилежащих к одной из одной из боковых сторон трапеции равна 180 градусам.

$\angle A+\angle B=180 и \angle C+\angle D=180$

2. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон.

$a+c=b+d$

3. Боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 90 градусов.
4. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

$m\parallel b и m\parallel d$

5. Средняя линия разделяет пополам любой отрезок, соеднияющий основания, пополам и также делит пополам диагонали.

$AM=MC и BN=ND$

6. Отрезок, соеднияющий середины диагоналей равен половине разницы оснований.

$MN=\frac{d-b}{2}$

Другие отрезки, лежащие на средней линии связаны соотношениями:

$LM=NT=\frac{b}{2}$
$LN=MT=\frac{d}{2}$

7. Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, делится ею пополам:

$EF\parallel b и EF\parallel d$
$EK=KF=\frac{b·d}{b+d}$

8. Точка пересечения диагоналей, середины оснований и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

9. Диагонали делятся точкой их пересечения в таком же соотношении, как и длины оснований:

$\frac{AK}{KC}=\frac{KD}{BK}=\frac{d}{b}$

10.  Диагонали делят трапецию на четыре треугольника. Треугольники прилежащие к основаниям - подобные. Треугольники же прилежащие к боковым сторонам имеют одинаковую площадь, то есть являются равновеликими. Если соотношение длин оснований равно k, то соотношение площадей треугольников, прилежащих к основаниям равно k².

$$\begin{gathered} △AKD~△BKC \\ {S}_{△ABK}=S_{△CKD} \end{gathered}$$
$\frac{d}{b}=k \Rightarrow \frac{S_{△AKD}}{S_{△BKC}}=k^2$

11. Диагонали связаны со сторонами следующим соотношением:

$d{1}^2+d{2}^2=2·b·d+a^2+c^2$

Стороны трапеции

Приведём основные формулы вычисления длин сторон трапеции:

1. Длина основания через длину средней линии и известного основания:

$$\begin{gathered} b=2m-d \\ d=2m-b \end{gathered}$$

2. Длина основания через высоту, длину известного основания и углы при нижнем основании:

$$\begin{gathered} b=d-h·(ctg\left(\angle A\right)+ctg\left(\angle D\right)) \\ d=b+h·(ctg\left(\angle A\right)+ctg\left(\angle D\right)) \end{gathered}$$

3. Длина основания через длины боковых сторон и известного основания и углы при основании:

$$\begin{gathered} b=d-a·\cos \left(\angle A\right)-b·\cos \left(\angle D\right) \\ d=b+a·\cos \left(\angle A\right)+b·\cos \left(\angle D\right) \end{gathered}$$

4. Длина боковой стороны через прилежащий к ней угол при нижнем основании и высоту:

$$\begin{gathered} a=\frac{h}{\sin \left(\angle A\right)} \\ c=\frac{h}{\sin \left(\angle D\right)} \end{gathered}$$

5. Длина основания через длины боковых сторон и диагоналей:

$$\begin{gathered} b=\sqrt{\frac{{(c^2-{d_2}^2)}^2-{(a^2-{d_1}^2)}^2}{2(c^2-a^2+{d_2}^2-{d_1}^2)}} \\ d=\sqrt{\frac{{(c^2-{d_1}^2)}^2-{(a^2-{d_2}^2)}^2}{2(c^2-a^2-{d_2}^2+{d_1}^2)}} \end{gathered}$$

6. Длины боковых сторон через длины оснований и диагоналей:

$$\begin{gathered} a=\sqrt{\frac{b({d_2}^2-d^2)+d({d_1}^2-b^2)}{b+d}} \\ c=\sqrt{\frac{b({d_1}^2-d^2)+d({d_2}^2-b^2)}{b+d}} \end{gathered}$$

Средняя линия трапеции

  Приведём основные формулы вычисления длины средней линии:

1. Через длины оснований, исходя из четвертого свойства трапеции в данной статье:

$m=\frac{b+d}{2}$

2. Через площадь и высоту:

$m=\frac{S}{h}$

где S - площадь трапеции.

Высота трапеции

Высота - это отрезок, соединяющий вершину трапеции и её основание под прямым углом, то есть 90 градусов.
Приведём основные формулы вычисления высоты трапеции:

1. Через длину боковой стороны и угол при основании прилежащий к ней:

$h=a·\sin \left(\angle A\right)=c·\sin (\angle D)$

2. Через длины диагоналей и оснований и углы между диагоналями:

$h=\sin \left(X\right)·\frac{d1·d2}{b+d}=\sin \left(Y\right)·\frac{d1·d2}{b+d}$

3. Через длины диагоналей и средней линии и углы между диагоналями:

$h=\sin \left(X\right)·\frac{d1·d2}{2m}=\sin \left(Y\right)·\frac{d1·d2}{2m}$

4. Через площадь и длины оснований:

$h=\frac{2S}{b+d}$

5. Через площадь и длину средней линии:

$h=\frac{S}{m}$

6. Через длины всех сторон:

$h=\sqrt{c^2-\frac{1}{4}{\left(\frac{c^2-a^2}{d-b}+d-b^2\right)}^2}$

Диагонали трапеции

Диагональ - это отрезок, соединяющий противолежащие вершины трапеции.
Основые формулы вычисления длин диагоналей трапеции:

1. По теореме косинусов:

$$\begin{gathered} d1=\sqrt{d^2+c^2-2c·d·\cos \left(\angle D\right)} \\ d2=\sqrt{d^2+a^2-2a·d·\cos \left(\angle A\right)} \end{gathered}$$

2. Через длины всех сторон:

$$\begin{gathered} d1=\sqrt{c^2+b·d-\frac{d(c^2-a^2)}{d-b}} \\ d2=\sqrt{a^2+b·d+\frac{d(c^2-a^2)}{d-b}} \end{gathered}$$

3. Через высоту, длину одного из оснований и один из углов при основании:

$$\begin{gathered} d1=\sqrt{h^2+{(d-h·ctg\left(\angle D\right))}^2}=\sqrt{h^2+{(b+h·ctg\left(\angle A\right))}^2} \\ d2=\sqrt{h^2+{(d-h·ctg\left(\angle A\right))}^2}=\sqrt{h^2+{(b+h·ctg\left(\angle D\right))}^2} \end{gathered}$$

4. Через соотношение диагоналей и сторон из свойств трапеции:

$$\begin{gathered} d1=\sqrt{a^2+c^2+2b·d-d{2}^2} \\ d2=\sqrt{a^2+c^2+2b·d-d{1}^2} \end{gathered}$$

5. Через длины боковых сторон, большего основания и высоту:

$$\begin{gathered} d1=\sqrt{h^2+(d-\sqrt{c^2-h^2{)}^2}} \\ d2=\sqrt{h^2+(d-\sqrt{a^2-h^2{)}^2}} \end{gathered}$$

Площадь трапеции

Площадь трапеции - это пространство, ограниченное сторонами трапециями, то есть лежащее внутри её периметра.
Основные формулы вычисления площади трапеции:

1. Через длины оснований и высоту:

$S=\frac{(b+d)}{2}·h$

2. Через длину средней линии и высоту:

$S=m·h$

3. Через длины диагоналей и угол между ними:

$S=\frac{d1·d2}{2}·\sin (\angle X)=\frac{d1·d2}{2}·\sin (\angle Y)$

4. Через длины всех сторон:

$S=\frac{b+d}{2}\sqrt{{с}^2-\left(\frac{{(d-b)}^2+{с}^2-a^2}{2(d-b)}\right)}$

5. Через формулу Герона для трапеции:

$S=\frac{b+d}{\left|b-d\right|}\sqrt{(p-b)(p-d)(p-d-a)(p-d-c)}$

где p - полупериметр трапеции.

$p=\frac{a+b+c+d}{2}$

Рассмотрим также частный случай нахождения площади равнобедренной трапеции:

1. Через радиус вписанной окружности и угол:

$S=\frac{4r^2}{\sin \left(\angle A\right)}$

2. Если диагонали перпендикулярны друг другу:

$S=h^2$

Периметр трапеции

Периметр трапеции - это сумма длин всех сторон трапеции. Вычисляется по следующей формуле:

$P=a+b+c+d$

Окружность описанная вокруг трапеции

Окружностью описанной вокруг трапеции называется окружность, касающаяся всех вершин трапеции. Формула вычисления радиуса описанной окружности:

$R=\frac{a·d·d1}{4\sqrt{p(p-a)(p-d)(p-d1)}}$

В данном случае p вычисляется следующим образом:

$p=\frac{a+d+d1}{2}$

Окружность вписанная в трапецию

Окружностью вписанной в трапецию называют окружность, которая касается всех сторон трапеции.
Формула вычисления радиуса вписанной окружности:

$r=\frac{h}{2}$