Содержание

1. Определение ромба
2. Признаки ромба
3. Основные свойства ромба
4. Стороны ромба
5. Диагонали ромба
6. Периметр ромба
7. Площадь ромба
8. Окружность вписанная в ромб

Определение ромба

Признаки ромба

1. Две его смежные стороны равны. Это означает также равенство всех его сторон:

$a=b=c=d$

2. Его диагонали пересекаются под прямым углом:

$d1\perp d2$

3. Если одна из его диагоналей является также и биссектрисой угла, из которого она проведена, то есть делит его пополам:

$\angle BAC=\angle CAD или \angle ABD=\angle DBC$

4. Если все его высоты равны:

$ha=hb=hc=hd$

5. Если его диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:

$△ABO=△BOC=△COD=△AOD$

6. Если в него можно вписать окружность:

Основные свойства ромба

Так как ромб является параллелограммом, то ему присущи все его свойства. Перечислим их:

1. Противолежащие стороны равны и попарно параллельны:

$$\begin{gathered} a=c и b=d \\ a\parallel c и b\parallel d \end{gathered}$$

2. Противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам:

$\angle A=\angle C и \angle B=\angle D$
$\angle A+\angle B=180$

Но существуют и свойства, отличающиеся от свойств параллелограмма:

1. Все высоты в ромбе равны:

$ha=hb=hc=hd=h$

2. Даигонали ромба перпендикулярны, то есть пересекаются под углом 90 градусов, и делятся точкой их пересечения пополам:

$d1\perp d2$
$AO=OC и BO=OD$

3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, как уже упомяналось в признаках.
4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату сторону, умноженному на 4:

$d{1}^2+d{2}^2=a^2$

5. Диагонали являются осями симметрии ромба, а точка их пересечения - её центром.
6. Точка пересечения диагоналей является центром вписанной в ромб окружности.
7. Середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника:

Стороны ромба

Приведём основные формулы, для вычисления длин сторон ромба:

1. Через площадь и высоту:

$a=\frac{S}{h}$

где S - площадь ромба.

2. Через площадь и угол:

$a=\sqrt{\frac{S}{\sin (\angle A)}}=\sqrt{\frac{S}{\sin (\angle B)}}$

3. Через площадь и радиус вписанной окружности:

$a=\frac{S}{2r}$

где r - радиус вписанной окружности.

4. Через длины диагоналей:

$a=\frac{\sqrt{d{1}^2+d{2}^2}}{2}$

5. Через длину одной из диагоналей и острый (угол B) или тупой (угол А) угол ромба:

$a=\frac{d1}{\sqrt{2+2\cos \left(\angle B\right)}}=\frac{d2}{\sqrt{2-2\cos \left(\angle A\right)}}$

6. Через длину большей диагональ и угол:

$a=\frac{d2}{2\cos \left(\frac{\angle B}{2}\right)}=\frac{d2}{2\sin \left(\frac{\angle A}{2}\right)}$

7. Через длину малой диагональ и угол:

$a=\frac{d1}{2\cos \left(\frac{\angle A}{2}\right)}=\frac{d1}{2\sin \left(\frac{\angle B}{2}\right)}$

8. Через периметр:

$a=\frac{P}{4}$

где P - периметр ромба.

Диагонали ромба

1. Через длину стороны и угол:

$$\begin{gathered} d1=a\sqrt{2+2\cos \left(\angle A\right)}=a\sqrt{2-2\cos \left(\angle B\right)} \\ d2=a\sqrt{2+2\cos \left(\angle B\right)}=a\sqrt{2-2\cos \left(\angle A\right)} \end{gathered}$$

2. Через длину стороны и половинный угол:

$$\begin{gathered} d1=2a·\sin \left(\frac{\angle B}{2}\right)=2a·\cos \left(\frac{\angle A}{2}\right) \\ d2=2a·\cos \left(\frac{\angle B}{2}\right)=2a·\sin \left(\frac{\angle A}{2}\right) \end{gathered}$$

3. Через длину стороны и известной диагонали:

$$\begin{gathered} d1=\sqrt{4a^2-d{2}^2} \\ d2=\sqrt{4a^2-d{1}^2} \end{gathered}$$

4. Через длину известной диагонали и угол:

$$\begin{gathered} d1=d2·tg\left(\frac{\angle B}{2}\right) \\ d2=d1·tg\left(\frac{\angle A}{2}\right) \end{gathered}$$

5. Через площадь и длину известной диагонали:

$$\begin{gathered} d1=\frac{2S}{d2} \\ d2=\frac{2S}{d1} \end{gathered}$$

6. Через половинный угол и радиус вписанной окружности:

$$\begin{gathered} d1=\frac{2r}{\sin \left({\displaystyle \frac{\angle A}{2}}\right)} \\ d2=\frac{2r}{\sin \left({\displaystyle \frac{\angle B}{2}}\right)} \end{gathered}$$

Периметр ромба

Периметром называют сумму длин всех сторон ромба. Существует одна основная формула вычисления периметра ромба:

$P=4a$

Площадь ромба

1. Через длину стороны и высоту:

$S=a·h$

2. Через длину стороны и угол:

$S=a^2·\sin (\angle A)$

3. Через длину сторону и радиус вписанной окружности:

$S=2a·r$

4. Через длины диагоналей:

$S=\frac{d1·d2}{2}$

5. Через радиус вписанной окружности и угол:

$S=\frac{4r^2}{\sin \left(\angle A\right)}$

6. Через длину малой диагонали и тупой угол или через длину большей диагонали и острый угол:

$S=\frac{1}{2}d{1}^2·tg\left(\frac{\angle A}{2}\right)=\frac{1}{2}d{2}^2·tg\left(\frac{\angle B}{2}\right)$

Окружность вписанная в ромб

1. Через высоту:

$r=\frac{h}{2}$

2. Через площадь и длину стороны:

$r=\frac{S}{2a}$

3. Через площадь и угол:

$r=\frac{\sqrt{S·\sin \left(\angle A\right)}}{2}$

4. Через длину стороны и угол:

$r=\frac{a·\sin \left(\angle A\right)}{2}$

5. Через длину диагонали и угол, из которого она проведена:

$r=\frac{d1·\sin \left({\displaystyle \frac{\angle A}{2}}\right)}{2}=\frac{d2·\sin \left({\displaystyle \frac{\angle B}{2}}\right)}{2}$

6. Через длины диагоналей:

$r=\frac{d1·d2}{2\sqrt{d{1}^2+d{2}^2}}$

7. Через длины диагоналей и стороны:

$r=\frac{d1·d2}{4a}=\frac{d1·d2}{P}$