Содержание

1. Определение параллелограмма
2. Признаки параллелограмма
3. Основные свойства параллелограмма
4. Стороны параллелограмма
5. Диагонали параллелограмма
6. Периметр параллелограмма
7. Площадь параллелограмма

Определение параллелограмма

1. Ромб - это параллелограмм, в котором все стороны равны.

2. Прямоугольник - это параллелограмм, в котором все углы прямые, то есть равны 90 градусам.

3. Квадрат - это параллелограмм, в котором все стороны равны и углы прямые.

Признаки параллелограмма

1. Две противоположные стороны параллельны и равны.

$a=c и a\parallel c$

2. Противоположные стороны четырёхугольника попарно равны.

$a=c и b=d$

3. Диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой их пересечения делятся пополам.

$AO=OC и BO=OD$

4. Протипоположные углы четырёхугольника попарно равны.

$\angle A=\angle C и \angle B=\angle D$

5. Сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180 градусов.

$\angle A+\angle B=180°$

Основные свойства параллелограмма

Нельзя путать свойства параллелограмма и его признаки, приведённые в разделе выше, даже при условии, что они могут повторяться.

1. Противолежащие стороны параллелограмма равны.

$a=c и b=d$

2. Противолежащие стороны параллелограмма параллельны.

$a\parallel c и b\parallel d$

3. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой их пересечения делятся пополам.

$AO=OC и BO=OD$

4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

$△ABC=△ACD$

5. В параллелограмме длины диагоналей и сторон связаны соотношением:

${d_1}^2+{d_2}^2=2\times (a^2+b^2)$

6. Сумма углов, прилежащих к одной стороне в параллелограмме, равна 180 градусов.

$$\begin{gathered} \angle A+\angle B=180° \\ \angle B+\angle C=180° \\ \angle C+\angle D=180° \\ \angle D+\angle A=180° \end{gathered}$$

7. Противолежащие углы параллелограмма попрано равны.

$\angle A=\angle C и \angle B=\angle D$

8. Стороны параллелограмма и высоты опущенные к ним соотносятся следующим образом:

$\frac{a}{b}=\frac{h_b}{h_a}$

 

1. Бисектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.

2. Бисектрисы, проведенные из уголов прилежащих к одной стороне, образуют между собой прямой угол.

3. Отрезки бисектрис противоположных углов равны и параллельны.

Стороны параллелограмма

  Формулы для определения длины сторон параллелограмма:

1. Если известны длины диагоналей и угол между ними:

$$\begin{gathered} a=\frac{\sqrt{{d_1}^2+{d_2}^2-2d_1{d}_2\cos \gamma }}{2} \\ b=\frac{\sqrt{{d_1}^2+{d_2}^2+2d_1{d}_2\cos \delta }}{2} \end{gathered}$$

2. Если известны длины диагоналей и одна из сторон:

$$\begin{gathered} a=\frac{\sqrt{2{d_1}^2+2{d_2}^2-4b^2}}{2} \\ b=\frac{\sqrt{2{d_1}^2+2{d_2}^2-4a^2}}{2} \end{gathered}$$

3. Если известны длина высоты и синус угла:

$$\begin{gathered} a=\frac{h_b}{\sin (\angle A)} \\ b=\frac{h_a}{\sin (\angle A)} \end{gathered}$$

4. Если известны площадь и высота:

$$\begin{gathered} a=\frac{S}{h_a} \\ b=\frac{S}{h_b} \end{gathered}$$

Диагонали параллелограмма

Диагональ параллелограмма, d₁ и d₂ - это отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.

Формулы для определения длины диагоналей параллелограмма:

1. Если известны длины сторон и один из угол:

$$\begin{gathered} d_1=\sqrt{a^2+b^2-2ab\times \cos \beta } или d_1=\sqrt{a^2+b^2+2ab\times \cos \alpha } \\ {d}_2=\sqrt{a^2+b^2+2ab\times \cos \beta } d_2=\sqrt{a^2+b^2-2ab\times \cos \alpha } \end{gathered}$$

2. Если известны длины сторон и одной из диагоналей:

$$\begin{gathered} d_1=\sqrt{2a^2+2b^2-{d_2}^2} \\ {d}_2=\sqrt{2a^2+2b^2-{d_1}^2} \end{gathered}$$

3. Если известны площадь, длина однй из диагоналей и угол между диагоналями:

$$\begin{gathered} d_1=\frac{2S}{d_2\sin \gamma }=\frac{2S}{d_2\sin \delta } \\ {d}_2=\frac{2S}{d_1\sin \gamma }=\frac{2S}{d_1\sin \delta } \end{gathered}$$

Периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма, P - сумма длин всех сторон параллелограмма.

Формулы определения периметра параллелограмма:

1. Если известны длины сторон:

$P=2a+2b=2(a+b)$

2. Если известны длины сторон и двух диагоналей:

$$\begin{gathered} P=2a+\sqrt{2{d_1}^2+2{d_2}^2-4a^2} \\ P=2b+\sqrt{2{d_1}^2+2{d_2}^2-4b^2} \end{gathered}$$

3. Если известны длина стороны, выстоты и угол:

$$\begin{gathered} P=2(b+\frac{h_b}{\sin \alpha }) \\ P=2(a+\frac{h_a}{\sin \alpha }) \end{gathered}$$

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма - часть плоскости, ограниченная сторонами параллелограмма, то есть его периметром.

Формулы определения площади параллелограмма:

1. Если известны длина стороны и высоты проведённой к ней:

$$\begin{gathered} S=a\times h_a \\ S=b\times h_b \end{gathered}$$

2. Если известны длины двух сторон и угол между ними:

$$\begin{gathered} S=ab\times \sin \alpha \\ S=ab\times \sin \beta \end{gathered}$$

3. Если известны длины диагоналей и угол между ними:

$$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\times \sin \gamma \\ S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\times \sin \delta \end{gathered}$$