Эллипс. Формулы и свойства

Содержание

1. Определение эллипса
2. Элементы эллипса
3. Основные свойства эллипса
4. Уравнение эллипса
5. Радиус круга вписанного в эллипс и описанного вокруг эллипса
6. Площадь эллипса и его сегмента
7. Приближённая формула периметра эллипса
8. Длина дуги эллипса

Определение эллипса

• фигура, получаемая в результате афинного преоборазования окружности
• ортогональная проекция окружности на плоскость
• фигура, получаемая в результате пересечения плоскости и прямого кругового цилиндра

Элементы эллипса

Перечислим основные элементы эллипса и их определения:

• Большая ось, А - отрезок, концы которого лежат на эллипсе, пересекающий его фокусы. Его длина определяется как 2a.

$A=2a$

• Малая ось, B - отрезок, концы которого лежат на эллипсе, пересекающий большую ось под прямым углом и проходящий через центр. Его длина определяется как 2b.

$B=2b$

• Большая полуось, a - отрезок, проведенный из центра эллипса к точке его пересечения с большой осью.
• Малая полуось, b - отрезок, проведенный из центра эллипса к точке его пересечения с малой осью.
• Вершины эллипса, A₁, А₂, В₁, В₂ - точки пересечения эллипса с большой и малой осями.
• Центр, О - точка пересечения малой и большой оси.
• Диаметр - отрезок, соединяющий две точки эллипса и проходящий через его центр. Диаметры эллипса называются сопряженными, если середины хорд, параллельных первому диаметру лежат на втором диаметре и наоборот.
• Фокальное расстояние, c - расстояние от центра эллипса до его фокуса.
• Эксцентриситет, e - величина, характеризующая вытянутость эллипса. Данная величина может принимать значения [0; 1). Чем ближе она к 1, тем больше эллипс вытянут, а чем ближе к 0, тем он ближе к окружности. Вычисляется по следующей формуле:

$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

• Фокальные радиусы, r₁, r₂ - расстояния от точки на эллипсе до его фокусов.
• Коэффициент сжатия или эллиптичность, k - отношение длины малой полуоси к большой.

$k=\frac{b}{a}$

Коэффициент сжатия связан эксцентриситетом следующей формулой:

$k=\sqrt{1-e^2}$

Эллиптичность связана с понятием сжатия эллипса.

• Сжатие, (1-k) - величина, равная разности между  единицей и эллептичностью.

$(1-k)=\frac{a-b}{a}$

• Радиус, R - отрезок, соединяющий точку на элиипсе и его центр. Вычисляется по следующей формуле:

$R=\frac{a·b}{\sqrt{b^2{\cos }^2\phi +a^2{\sin }^2}\phi }=\frac{b}{\sqrt{1-e·{\cos }^2\phi }} , где \phi - угол между радиусом и большой полуосью$

• Фокальный параметр, p - половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси. Вычисляется по следющей формуле:

​​​​​$p=\frac{b^2}{a}$

• Директриса - прямая, перпендикулярная большой оси эллипса и пересекающая её на расстоянии $\frac{a}{e}$ от центра эллипса. Расстояние от фокуса до директрисы равно $\frac{p}{e}$. Эллипс обладает двумя директрисами.

Основные свойства эллипса

1. Углы между фокальными радиусами и касательной к эллипсу равны (точка H).
2. Уравнение касательной к эллипсу в точке H с координатами (Hx;Hy) имеет вид:

$1=\frac{x·H_x}{a^2}+\frac{y·H_y}{b^2}$

3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, соединяющий середины отрезков, образовавшихся в результате пересечения, будет проходить через центр эллипса.

4. Эволютой эллипса является астероида, растянутая вдоль малой оси.

5. Если вписать эллипс в треугольник АВС, то будет выполняться следующее соотношение:

$1=\frac{\overline{F_{1}A}·\overline{F_{2}A}}{\overline{CA}·\overline{AB}}+\frac{\overline{F_{1}B}·\overline{F_{2}B}}{\overline{AB}·\overline{BC}}+\frac{\overline{F_{1}C}·\overline{F_{2}C}}{\overline{BC}·\overline{CA}}$

Уравнение эллипса

Каноническое уравнение:

$1=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$

В случае, если центр эллипса смещён относительно центра координат и имеет координаты (x₀,y₀), то уравнение принимает вид:

$1=\frac{{(x-x_0)}^2}{a^2}+\frac{{(y-y_0)}^2}{b^2}$

Параметрическое уравнение:

$\left\{\begin{array}{l}x=a·\cos \left(t\right)\\ y=b·\sin \left(t\right)\end{array}, где 0\le t\le 2\mathrm{\pi }\right.$

Параметр t является углом между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором данной точки.

Радиус круга вписанного в эллипс и описанного вокруг эллипса

Круг вписанный в элипс касается только двух вершин эллипса: B₁ и В₂. Из этого следует, что радиус такого круга будет равен длине малой полуоси эллипса:

$r=b$

Круг описанный вокруг эллипса касается только вершин А₁ и А₂.  

$R_{оп}=a$

Площадь эллипса и его сегмента

Формула расчёта площади эллипса:

$S=\mathrm{\pi }·\mathrm{a}·\mathrm{b}$

Если эллипс задан уравнением Аx²+Bxy+Cy²=1, то площадь можно определить по формуле:

$S=\frac{2\mathrm{\pi }}{\sqrt{4A·C-B^2}}$

Формула площади сегмента, лежащего между дугой выпуклой влево и вертикальной хордой с координатами (x, y) и (x, -y):

$S_{сег}=\frac{\mathrm{\pi }·\mathrm{a}·\mathrm{b}}{2}-\frac{b}{a}(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2·arc\sin (\frac{x}{a}\left)\right)$

Приближённая формула периметра эллипса

Формула Эйлера:

$L\approx \mathrm{\pi }\sqrt{2({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2)}$

Другой вариант приближённой оценки длины периметра:

$L\approx 4\frac{\mathrm{\pi }·\mathrm{a}·\mathrm{b}+{(\mathrm{a}-\mathrm{b})}^2}{a+b}$

Погрешность приблизительно в два раза меньше (0,36% при эксцентриситете 0,980) обеспечивает следующая формула:

$L\approx 4·{(a^x+b^x)}^{1/x}, где x=\frac{\ln 2}{\ln {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}}$

Лучшую точность при 0,05формулы Рамаунджа (0,02%):

$L\approx \mathrm{\pi }·(\mathrm{a}+\mathrm{b})·\left[3(\mathrm{a}+\mathrm{b})-\sqrt{(3\mathrm{a}+\mathrm{b})(\mathrm{a}+3\mathrm{b})}\right]$

$L\approx \mathrm{\pi }·(\mathrm{a}+\mathrm{b})\left[1+\frac{3{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}}\right)}^2}{10+\sqrt{4-3{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}}\right)}^2}}\right]$

Длина дуги эллипса

Параметрическая формула определения длины дуги эллипса через длины полуосей:

$l={\int }_{t1}^{t2}\sqrt{a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t}·dt, где t - параметр из параметрического уравнения эллипса$

$l=a{\int }_{t1}^{t2}\sqrt{1-e^2{\cos }^{2}t}·dt, e<1$