Содержание

1. Определение окружности
2. Определение круга
3. Радиус и диаметр окружности
4. Основные свойства окружности
5. Формулы длины окружности и площади круга
6. Уравнение окружности
7. Касательная окружности и её свойства
8. Секущая окружности и её свойства
9. Хорда окружности и её свойства
10. Центральный и вписанный угол и их свойства
11. Дуга, её длина и градусная мера
12. Сектор и его площадь
13. Сегмент и его площадь
14. Концентрические окружности и кольцо

Определение окружности

Единичная окружность - это окружность, все точки которой удалены от центра на единицу.
Нулевая окружность является точкой и далее не рассматривается.

Определение круга

Радиус и диаметр окружности

Радиус окружности, R - отрезок, соединяющий центр окружности с любой другой её точкой. Также радиусом называют длину такого отрезка. Радиус является половиной диаметра, D.
Приведём основные формулы расчёта радиуса окружности:

1. Через длину окружности:

$R=\frac{L}{2\mathrm{\pi }}$

где L - длина окружности.

2. Через площадь кргуа:

$R=\sqrt{\frac{S}{\mathrm{\pi }}}$

3. Через диаметр:

$R=\frac{D}{2}$

4. Через диагональ вписанного прямоугольника. Вписанным называется прямоугольник, касающийся окружности всеми своими вершинами.

$R=\frac{d}{2}$

где d - диагональ вписанного прямоугольника.

5. Через сторону описанного квадрата. Описанным называется квадрат, который касается окружности всеми своими сторонами.

$R=\frac{a}{2}$

где a - длина стороны описанного квадрата.

6. Через размеры вписанного треугольника.

• Если треугольник является прямоугольным:

$R=\frac{a+b-c}{2}$

где a, b - катеты, а c - гипотенуза прямоугольного треугольника.

• Если треугольник является равносторонним:

$R=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

где a - сторона равностороннего треугольника.

• Если треугольник произвольный:

$R=\frac{a·b·c}{4S}$

где a,b и c - стороны треугольника, а S - его площадь.

7. Через размеры описанного треугольника. 

$R=\frac{S}{p}$

$p=\frac{a+b+c}{2}$

где a, b и с - стороны треугольника.
  Основная формула, которую необходимо знать для расчёта диаметра:

$D=2R$

Остальные формулы можно получить, исходя из формул расчёта радиуса окружности.

Основные свойства окружности

1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и при том только одну.
2. При условии сохранения длины среди кривых окружность ограничевает наибольшую площадь.
3. Если две окружности касаются друг друга в одной точке, то эта точка лежит на прямой, проходящей через центр этих окружностей.
4. Кратчайшее расстояние от центра окржности до хорды или секущей всегда меньше радиуса данной окружности.
5. Градусная мекра окружности составляет 360 градусов.

Формулы длины окружности и площади круга

Длина окружности, L - это длина кривой, ограничивающей круг.
Формула длины окружности:

$L=2\mathrm{\pi R}=\mathrm{\pi D}$

Площадь круга, S - пространство, ограниченное окружностью.
Формула площади круга:

$S={\mathrm{\pi R}}^2=\frac{{\mathrm{\pi D}}^2}{4}$

Уравнение окружности

Уравнение окружности - выражение, которое описывает окружность на координатной плоскости. Оно имеет несколько видов:

1. В случае. если центр окружности находится в точке с координатами (0;0), то есть начале координат:

$R^2=x^2+y^2$

2. В случае если центр окружности находится в точке с координатами (x₀;y₀):

$R^2={(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2$

3. Параметрическое уравнение. Параметрическим называют уравнение, в котором величина выражается через некоторый варируемый в определённой области параметр.

$\left\{\begin{array}{l}x=x_0+R·\cos \left(t\right)\\ y=y_0+R·\sin \left(t\right)\end{array}\right.где 0\le t\le 2\mathrm{\pi }$

Касательная окружности и её свойства

Касательная окружности - это прямая, которая касается окружности только в одной точке. Свойства касательных окружности:

1. Касательные всегда перпендикулярны радиусу, проведенному к точке их соприкосновения с окружностью.

$OA\perp R и OB\perp R$

2. Кратчайшим расстоянием от центра окружности до точки её соприкосновения касательной с данной окружностью является её радиус.

$OA=R и OB=R$

3. Если две касательные одной окружности не параллельны, то расстояния от точек их касания с окружностью до точки их пересечения равны.

$AC=BC$

Также углы между отрезком, соединяющим центр окружности с точкой пересечения её касательных, и самими касательными равны.

$\angle ACO=\angle BCO$

Секущая окружности и её свойства

Секущая окружности - прямая, пересекающая окружность в двух разных точках. Основные свойства секущей:

1. Если две секущие исходят из одной точки вне окружности, то произведения длин отрезков от этой точки до точек пересечения секущих с окружностью будут равны.

$AE·BE=CE·DE$

2. Если секущая и касательная исходят из одной точки вне окружности, то произведение длин отрезков от этой точки до точек пересечения секущей с окружностью будет равно квадрату длины отрезка от исходной точки до точки касания касательной с окружностью.

$AE·BE=F{E}^2$

3. Если провести отрезки от точек пересечения секущей с окружностью до точки касания её касательной, то образуются два подобных треугольника.

$△AEF~△ABF$

4. Если провести отрезок между точками первого пересечения окружности двумя секущими и отрезок между точками второго пересечения окружности этими же секущими, то образуются два подобных треугольника.

$△AEC~△BED$

5. Кратчайшее растояние от центра окружности до секущей всегда меньше радиуса этой окружности.

 

Хорда окружности и её свойства

1. Если две хорды равны, то кратчайшие расстояния от них до центра окружности одинаковы. И наоборот, если хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности, то они равны.

$OE=OF \iff AD=BC$

$OE>BF \iff AD<BC$

2. Если расстояние от центра окружности до хорды равно нулю, то такая хорда является диаметром. Если же это расстояние равно радиусу окружности, то такая хорда вырождается в точку.
3. Если диаметр перпендикулярен хорде, не являющейся диаметром, то он он делит хорду точкой пересечения пополам. Также точкой пересечения с диаметром делится пополам дуга, стягиваемая данной хордой.

$AE=ED$
$\upsilon AG=\upsilon GD$

4. Равные хорды стягивают равные дуги.
5. Если две хорды параллельны, то дуги между ними будут равны.

$AD\parallel BC \Rightarrow \upsilon AB=\upsilon CD$

6. Если две хорды пересекаются в некой точке, то произведения длин полученных отрезков хорд будут равны.
7. Чем больше хорда, тем большую дугу она стягивает.

Основные формулы расчёта длины хорды:

1. Через центральный угол и радиус:

$AB=2R·\sin \left(\angle \frac{Q}{2}\right)$

2. Через вписанный угол и радиус:

$AB=2R·\sin \left(\angle Q\right)$

Центральный и вписанный угол и их свойства

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу или хорду, равны.

$\angle DAC=\angle DBC$

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть равным 90 градусам.
3. Если центральный и вписанный угол опираются на одну и ту же дугу или хорду, то такой вписанный угол равен половине  такого центрального угла.

$\angle DAC=\frac{1}{2}·\angle DOC$

4. Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду и находятся по разные её стороны, то их сумма равна 180 градусам.

$\angle ABC=\angle ADC$

4. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Дуга, её длина и градусная мера

$L_D=\frac{\mathrm{\pi R}}{180}·\angle Q$

где Q - центральный угол для данной дуги.

Если угол выражен в радианах, то формула приобретает вид:

$L_D=R·\angle Q$

Сектор и его площадь

Сектор - часть круга, ограниченная двумя радиусами данного круга и дугой между ними. Площадь сектора рассчитывается по следующей формуле:

$S=\frac{{\mathrm{\pi R}}^2}{360}·\angle AOB$

где AOB - центральный угол в градусах.

Сегмент и его площадь

Сегмент - это часть круга, ограниченная хордой и дугой, которую она стягивает.  Площадь сегмента круга вычисляется по следующей формуле:

$S=\frac{1}{2}{R}^2(\angle AOB-\sin \left(\angle AOB\right))$

где AOB - центральный угол для данной дуги в радианах.

Концентрические окружности и кольцо

Кольцо - часть плоскости, ограниченная двумя концентрическими окружностями.